On considère un tuyau cylindrique de longueur L et de section S, fermé
à ses deux extrémités. Une déformation produite au sein du gaz du tuyau se propage
dans les deux directions, se réfléchit aux deux extrémités, et produit ainsi
une série d’ondes parcourant le tube dans deux directions. Ces ondes doivent
être périodiques et satisfaire les conditions aux limites, déplacements nuls aux extrémités fixes du tube. Cela conduit à la condition :
sin kl = 0 et les fréquences possibles sont : N = n.c/2L où n est un entier et c la célérité du son dans le tuyau. Ce sont les fréquences
des ondes sinusoïdales pouvant s’établir dans le tuyau en respectant les
conditions aux limites. Les fréquences supérieures appelées harmoniques sont des multiples
de la fréquence fondamentale. La fréquence fondamentale est N1 = c/2 L. Dans le cas d’un tuyau cylindrique ouvert aux deux extrémités, on
observe le même ensemble
de fréquences propres bien que les
conditions aux limites soient différentes. On peut
admettre que la pression acoustique est nulle aux extrémités car le tuyau est ouvert à
l’air environnant. Pour un tuyau fermé à un bout et ouvert à l’autre, les conditions aux limites
donnent pour les fréquences propres : Ni = (n + 1/2) c/2 L . En fait, par suite de l’effet de bord de l’extrémité ouverte, il
faut remplacer
la longueur réelle par une longueur corrigée qui dépend de la géométrie du tuyau.
Pour un mode propre de vibration d’un tuyau ouvert aux deux
extrémités, il existe des positions, pour lesquelles cos npx/l = 0
qui
correspondent à un déplacement nul des particules, appelées les nœuds.
Les
points de déplacement maximal sont les ventres. Un nœud de déplacement correspond à un ventre de pression acoustique
et réciproquement. La distance entre deux nœuds ou deux ventres successifs est égale
à une demi-longueur
d’onde.
L'applet représente une modélisation simplifiée d'un tuyau d'orgue
de 1 mètre de longueur. Quand le tuyau est mis en action, on envoie de l'air
avec une soufflerie par la base du tuyau. Dans les tuyaux à bouche, une ouverture
située à la base provoque des turbulences qui excitent la vibration de l'air
du tuyau. Dans les tuyaux à anche, l'air entrant fait vibrer une lamelle métallique.
Les tuyaux peuvent être ouverts à l'autre extrémité ou fermés (bourdons). Le
son émis est un mélange du fondamental et des premiers harmoniques.