Constante de torsion d'un fil

 Rappels :
La constante de torsion d'un fil de diamètre d et de longueur L vaut  C = mp.d4/32. m est le module de rigidité du matériau constituant le fil. Cette loi a été établie expérimentalement par Coulomb dès 1784.
On simule ici une manipulation qui permet de déterminer les valeurs de C et de µ.
On utilise un pendule de torsion constitué par un cylindre de rayon R1 et de hauteur h1 sur l'axe duquel est fixé un mandrin. Comme le calcul précis du moment d'inertie I1 de ce solide autour de son axe n'est pas possible, on utilise la méthode de la surcharge : celle-ci est constituée par un anneau de rayons R1 et R2 et de hauteur h2 et de masse M qui est placé sur le disque.
Retrouver le fait que le moment d'inertie de l'anneau est  égal à : I0 = ½.M.(R12 + R22)
Quand le disque oscille seul, sa période est T1 = 2.p.(I1 / C)½.
Soit I2 = I1 + I0 le moment d'inertie du disque avec la surcharge par rapport au fil de torsion.
La période d'oscillation devient : T2 = 2.p.(I2 / C)½.
Du rapport des carrés des deux périodes on déduit alors I1 = I0.T12 / (T22 - T12)

Montrer également que C = 4p2.I0 / (T22 - T12).
Montrer que si la loi de Coulomb est vérifiée, les quantités T.d2 (L constant) et T / L½ (d constant) sont constantes. De même montrer que si m désigne la masse du fil de torsion le produit T.m est constant.

Remarques diverses :
Module de rigidité : µ s'exprime en N/m2.Rd. On pose u = 1010N/m2.Rd.  Les valeurs indiquées sont des ordres de grandeur car les valeurs précises dépendent des traitements thermiques subis par les fils. Acier 7,8 à  8,1 u; Nickel 6,5 u; Argent 2,6; Cuivre 4,3 u; laiton 3,5 u; Tungstène 15 u.
La constante de torsion C s'exprime en N.m/Rd
Si la limite d'élasticité du fil de torsion n'est pas dépassée les oscillations du pendule sont isochrones. (T est indépendant de l'amplitude des oscillations).

L'Applet :
L'applet présente une vue en coupe du système et une vue de dessus.
Les boîtes de saisie permettent de modifier les valeurs du diamètre du fil de torsion (mesurées au palmer) et sa longueur.
Les boutons radios permettent de sélectionner soit le pendule seul ( périodes T1 ) soit le pendule avec la surcharge ( période T2 ).
Un click sur le bouton [On] remet à zéro et lance le chronomètre, un click sur le bouton [Off]   l'arrête.
Pour une configuration donnée, mesurer la durée de 10 à 20 périodes d'oscillation. En déduire T1 et T2 puis les valeur de C et de I1.
En déduire la valeur de µ pour le fil utilisé.
Vérifier aussi que les quantités T.d2 et T / L½ sont constantes.
Valeurs utilisées :
M = 1605,1 g; R1 = 10,0 cm; R2 = 6,0 cm; h2 = 1 cm. Les fils utilisés sont des cordes à piano.

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