Couplage par une masse
Principe :
On considère deux pendules élastiques identiques constitués par une masse M accrochée à un ressort de raideur K
dont la masse est négligeable. Les masses des deux pendules sont reliées
par une barre de longueur L et de masse négligeable qui porte en son milieu
une masse 4m.
Les variables des équations sont les déplacements x1 et x2 des masses M
par rapport
à leurs positions d'équilibre statiques. Soit x = ½(x1 + x2)
la variation de la position du centre d'inertie lors des mouvements.
On suppose
que l'amplitude des déplacements est assez petite pour que l'on puisse
considérer que les masses M se déplacent sur des verticales. Dans ces conditions,
l'angle de rotation de la barre est q = (x1
- x2)/L.
Le mouvement de translation du centre de masse est donné par :
(2M+
4m).x" + K.x1 + K.x2 = 0.
(M +
2m).(x"1 + x"2) + K.(x1 + x2)
= 0. (1)
Soit I = M.L2/4
+ M.L2/4 = M.L2/2 le moment d'inertie par rapport au centre
de masse.
L'application du théorème du moment cinétique par rapport à ce
point donne :
I.q" + K.x1.cos(q).L/2
- K.x2.cos(q).L/2 = 0.
Comme l'angle de rotation
est petit cos(q) est voisin de 1 il vient :
I.q" + K.(x1 -
x2) .L/2 = 0.
M.(x"1 - x"2) + K.(x1 - x2)
= 0. (2)
Somme et différence des équations (1) et (2) donnent finalement
:
(M + m).x"1 + K.x1 + m.x"2 = 0
(M + m).x"2 + K.x2 + m.x"1 = 0
On se limite ici à l'étude du régime
libre. Pour plus de réalisme, j'ai introduit un terme d'amortissement visqueux dans les deux équations.
Ces
équations
sont intégrées numériquement par la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4.
Ce
système permet de particulièrement bien visualiser les modes symétriques (valeurs initiales
des déplacements identiques) et antisymétriques (valeurs initiales opposées).
Le
circuit électrique correspondant est
constitué par deux circuits LC série couplés par mutuelle induction ou par une
troisième inductance.
L’applet :
Commandes :
Les boutons radio permettent de visualiser soit
l'animation du système soit les courbes de variation de x1 et de x2 en fonction du temps.
Les
boîtes de saisie permettent de modifier :
a)- Le coefficient d'amortissement
visqueux f identique pour les deux ressorts. (f/M
peut varier entre 0 et 40 )
b)- Le rapport des masses m et M
(variable entre 0 et 4). La valeur 0 correspond aux deux pendules non couplés.
c)-
La durée d'étude du système (variable entre 1 et 10 s). Les modifications de
cette valeur agissent sur la vitesse de l'animation.
d)- Les valeurs initiales
des déplacements x1 et x2. Dans tous les cas, les vitesses
initiales sont nulles.
Valeurs utilisées :
M = 1 kg, K = 4.103 J/m. La fréquence propre du système supérieur isolé est donc
voisine de 10 Hz.
Étudier le comportement du dispositif en fonction de m, f et des conditions
initiales.
Vérifier que les mouvements des deux masses présentent des battements.
Il faut valider après avoir effectué la dernière saisie dans les zones de texte.
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