Trois oscillateurs harmoniques couplés
Commentaires :
Avec 3 oscillateurs quelconques, le nombre de paramètres indépendants étant
trop grand, nous avons choisi de prendre tous les ressorts identiques.
On néglige les frottements.
Les pulsations des oscillateurs indépendants
sont w12 = K/M1, w22
= K/M2. w32
= K/M3.
Chaque masse est soumise à la force de rappel des deux ressorts qui
lui sont liés.
Les équations du mouvement sont donc :
Si
les trois masses sont égales la résolution du système donne pour les valeurs
propres :
Afin de pouvoir traiter tous les cas, dans le programme,
ce système d'équations différentielles couplées est résolu numériquement en
utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Par hypothèse, la vitesse
initiale des deux masse est toujours nulle.
On peut constater que pour des
conditions initiales quelconques la solution est en général d'aspect complexe.
C'est une combinaison linéaire des trois modes propres.
Elle est de
la forme : Xi = Ai.cos(wpt) + Bi.cos(wqt)
+ Ci.cos(wrt) (i = 1 , 2, 3)
La valeur des constantes Ai ,Bi et Ci est fonction des conditions
initiales.
Pour la détermination des fréquences propres
consulter la page
sur la chaîne d'oscillateurs.
Utilisation :
La valeur X1 de l'amplitude initiale du premier pendule est toujours égal à +1.
La
valeur de K est égale à 1 N/m et M2 = 1kg.
Avec des valeurs identiques des masses (M1/M2 = 1) et (M3/M2 = 1), testez les cas :
a) X2 = 0; X3 = -1;
b) X2 = 1,414; X3 = 1
c)X2 = -1,414; X3 = 1
Ces conditions initiales correspondent aux trois modes propres.
Vérifier
(grossièrement à cause de la résolution) que les pulsations propres sont égales
à 0,765, 1,414, 1,847 (en unités (K/M)½ .
Pour des
conditions initiales quelconques, le mouvement des masses est complexe.
L'aspect
des courbes obtenues pour les modes propres montre la fiabilité de la méthode
de Runge-Kutta pour ce système à 6 inconnues (3 positions et 3 vitesses).
Il suffit de valider la dernière valeur saisie dans les zones de texte.
Retour au menu "Mécanique".