Chocs de pendules
Présentation :
On considère
deux pendules simples constitués par des sphères en acier de masses M1 et M2.
Les suspensions de même longueur sont bifilaires
pour obliger les sphères à se déplacer dans un plan.
A l'équilibre, les deux
sphères sont tangentes. On pose K = M1/M2.
Hypothèses :
1)-
On suppose que les collisions sont parfaitement élastiques.
2)- On suppose
que la période des pendules est indépendante de l'amplitude d'oscillation. Ceci
impose de se limiter à des oscillations de faibles amplitudes. Pour mieux visualiser
les phénomènes cette condition n'a pas été respectée dans le programme.
Mouvement
des pendules :
On écarte la sphère
M1 de sa position d'équilibre en élevant son centre de gravité de la hauteur
h1 et on la lâche sans vitesse initiale. Montrer en utilisant la conservation de l'énergie
mécanique qu'au moment du choc avec M2, la vitesse de la masse M1 est égale
à : V1 = (2M1.g.h1)½ . Montrer en utilisant la conservation
de l'énergie cinétique (collisions élastiques) et celle de la quantité de mouvement lors
du choc, qu'après le choc la vitesse de M1 est :
V'1 = V1.(K-1)/(K+1)
et
que la vitesse de M2 est :
V'2 = V1.2K/(K+1).
Si K<1 V'1 est négatif : M1 rebondit sur M2.
Si K>1 V'1 est positif
mais inférieure à V1. La sphère continue son mouvement vers la droite mais avec
une vitesse plus faible. La sphère M2 possède une vitesse positive supérieure
à V1.
Si K = 1 V'1 est nul : les deux sphères échangent leurs vitesses.
Après
le choc, les deux sphères atteignent les altitudes h'1 = h1.((K-1)/(K+1))2
et h'2 = h1.4K2/(K+1)2.
Si la période des pendules
est indépendante de l'amplitude d'oscillation, le second choc (et les suivants)
se produit quand les pendules passent par la position d'équilibre mais les vitesses
sont inversées : le mouvement est périodique.
En réalité les chocs ne
sont pas parfaitement élastiques (à chaque choc,
une partie de l'énergie est dissipée en chaleur) et l'amplitude des mouvements
diminue.
Un gadget (Tac-tac) constitué par deux billes d'acier identiques
reliées par des fils de même longueur a fait fureur en 1971.
L'applet :
La liste de choix permet de choisir la valeur du rapport des masses.
Avec
la souris glisser le curseur rouge pour modifier la valeur de h1.
Ensuite
cliquer sur le bouton [Départ] pour lancer le mouvement.
La case à cocher
permet de visualiser les variations d'altitudes des deux masses.
Vérifier
(grossièrement) les relations entre h1, h'1 et h'2.
Analyser le mouvement
pour K plus petit que 1.
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