Modes normaux d'une poutre rectangulaire
Présentation :
On considère
une poutre rectangulaire d'épaisseur e, de largeur l et de longueur L. Soit
S la section, µ la masse volumique, E le module d'Young et I = l.e3/12
l'inertie de la section droite de la poutre dans la direction de la largeur.
On démontre (voir par exemple : Vibrations des milieux continus Jean-Louis
Guyader (Hermes)) que l'amplitude Y(x,t) du déplacement transversal d'une section
droite de la poutre est donné, si on néglige l'amortissement par l'équation
aux dérivées partielles
(1)
La solution
de cette équation est fonction des conditions aux limites et des conditions
initiales.
On se limite aux solutions de la forme Y(x,t) = y(x).cos(wt).
Conditions
aux limites : Chaque extrémité peut être libre, appuyée, guidée ou encastrée.
On
se limite ici à la détermination des modes propres
pour les cas encastrée-libre et encastré-encastré.
Conditions initiales :
La solution finale est une combinaison linéaire de tous les modes propres. L'amplitude
de chaque mode propre est fonction des conditions initiales.
L'applet :
Les courbes représentent la forme de la poutre pour le mode d'indice n quand
cos(wnt) = 1.
Les valeurs R(n) affichées
sont les solutions de l'équation transcendante qui intervient dans la résolution
du problème.
Les valeurs f(n) sont les valeurs des fréquences propres qui
correspondent aux valeurs numériques utilisées.
Les boutons radio permettent
la sélection des deux cas étudié.
Les boutons [+] et
[-] permettent
de modifier l'indice du mode propre qui est visualisé.
Pour permettre une
meilleure visualisation, l'échelle verticale est fortement dilatée.
Données numériques : l = 2 cm; e = 0,5 mm; L = 25 cm; µ = 7,8 g/cm3;
E = 21 1010 N/m2.
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