Un peu de théorie
On considère un récipient cylindrique de rayon R contenant un liquide
de masse volumique m. La hauteur du liquide au repos
est Z0.
Le récipient est animé d'un mouvement de rotation uniforme autour
de son axe vertical avec la vitesse angulaire w.
On
admet que l'entraînement du liquide par le récipient est parfait.
Par rapport à un système d'axes liés au récipient (Ox horizontal et Oz vertical
orienté vers le haut), le liquide est repos. Un élément de volume dv situé
à la distance r de l'axe est soumis à son poids -m.dv.g
et à la force d'inertie (horizontale) m.dv.w2.r.
Habituellement
en statique des fluides, la seule force qui intervient est la force de pesanteur
et l'expression locale de la pression est donnée par dp = - m.g.dz.
Dans le cas présent, il faut utiliser la relation vectorielle générale : m.F
- grad (p) = 0, liant les forces par unité de masse à la pression.
Dans
le repère utilisé, on a : m.w2.r - dp/dr
= 0 (1) et -m.g - dp/dz = 0 (2)
Or
dp = dp/dr.dr + dp/dz.dz
Donc
dp = m.w2.r.dr - m.g.dz.
L'intégration de cette relation donne l'expression de la pression dans le fluide
p = ½.m.w2.r2
- m.g.z +
Const.
L'équation des isobares est donc z = w2.r2/2g
+ Const.
Ce sont des paraboloïdes de révolution autour de Oz.
Pour déterminer
la valeur de la constante qui correspond à la surface libre du liquide, il suffit
de remarquer que le volume du fluide est invariable. Montrer que le volume formé
par un paraboloïde de révolution et limité par un plan normal à l'axe est égal
à la moitié du volume du cylindre circonscrit soit ½.p.R2.h
et en déduire la valeur de la constante.
Montrer également que la surface
du liquide passe toujours par le cercle de cote Z0 et de rayon 0,707.R.
En
chaque point du fluide, l'isobare est normal à la force appliquée à l'élément
de volume considéré.
L'applet
L'applet simule
la rotation du récipient cylindrique (R = 10 cm, Z0 = 20 cm) autour de son
axe.
En glissant le curseur vert avec la souris, on peut faire varier la
vitesse angulaire.
La case à cocher permet d'afficher (ou non) les
forces qui agissent sur un élément de volume à la surface.
En vert force
de pesanteur, en bleu force d'inertie, et rouge résultante.
Les points rouges
sont la trace du cercle invariant de la surface du fluide.