Chaîne linéaire à deux types d'atomes
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Une chaîne linéaire illimitée est constituée d'atomes de masse
m1 aux positions paires et d'atomes de masse m2 < m1 aux positions
impaires , séparés à l'équilibre par la distance a. Une perturbation longitudinale
modifie de Un << a la position de l'atome n.
On modélise les interactions
entre les atomes par une force de rappel (équivalente à un ressort de raideur
K) limitées aux premiers voisins.
Comme pour la chaîne
constituée d'atomes identiques, la relation fondamentale de la dynamique
appliquée aux atomes 2n et 2n+1 donne :
m1d2U2n/dt2 = K(U2n+1 -
2U2n + U2n-1) (1)
m2d2U2n+1/dt2 = K(U2n+2 -
2U2n+1 + U2n) (2)
Comme la chaîne
est illimitée, il n'y a pas de conditions aux limites. Une onde progressive
sinusoïdale se propage dans le milieu.
U2n = U1.cos(kx2n -wt).
et
U2n+1 = U2.cos(kx2n+1 -wt).
En posant M = m1.m2/(m1 + m2), on tire :
w4 -2Kw2/M
+ 4K2sin2(ka)/m1.m2 = 0.
La relation de dispersion s'écrit : w2+
= K/M.(1 + D½) et w2-
= K/M.(1 - D½) avec D = (1 - 4M2sin2(ka)/m1.m2)
Pour
w- , on obtient une relation du même type que pour
la chaîne constituée d'atomes identiques avec un pas égal à 2a et non plus a.
C'est le mode acoustique (faibles fréquences) qui correspond à une pulsation
maximale w1= (2K/m1)½.
Pour
w+ , on obtient une fonction décroissante avec k.
C'est
le mode optique (hautes fréquences) qui correspond à des pulsations
comprises entre w2= (2K/m2)½
et wM= (2K/M)½.
La bande
comprise entre w1 et w2
est interdite. Il n'y a pas de propagation pour des pulsations comprises entre
w1 et w2
ou supérieures à wM . Une telle onde
est réfléchie par la chaîne sans y pénétrer.
L'applet :
Le curseur vert
permet de faire varier le nombre d'onde k entre 0 et p/2a.
Noter
que pour m2/m1 = 1 (chaîne d'atomes identiques), on obtient la courbe de dispersion
w = 2(K/m)½|sin(ka/2)| repliée
car dans ce cas, la zone de Brillouin s'étend entre -p/a
et +p/a et non pas entre -p/2a
et +p/2a.
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